Dado o seguinte hamiltoniano para dois osciladores lineares idênticos com constante de mola k e potencial de interação alfa x1x2, solicitei-me a encontrar o valor de expectativa langle x1x2rangle (x1ampx2 são variáveis do oscilador): fractura de boneco 21 frac 22 frac12k (x12x22) alfa x1x2 Não saber mais nada Para fazer, eu mudei para coordenadas normais: x1frac x2frac Os operadores de momentum são alterados de forma correspondente da mesma forma. Assim, o novo hamiltoniano é: fractura de chapéu 2I frac 2 frac12 (kalpha) xI2frac12 (k-alfa) x 2 Agora, isso pode ser resolvido como dois problemas de autovalor separados, produzindo assim duas soluções. No entanto, o problema nunca especifica que o tipo de partículas está em estes osciladores (ou seja, fermions idênticos, bosons). Então, isso me leva a perguntar, como deve ser formada a função de onda simétrica, assimétrica ou não, agora, a segunda parte. Dada a forma como a função de onda é formada, x1x2frac12 (xI2-x 2). Então tentei formular isso em termos de operadores de elevação e redução. Parece-me que haverá quatro tipos de operadores. Podemos ter (usando a notação Griffiths): aI, a, a, e a. Onde cada um corresponde aos operadores nas respectivas bases. Usar isso pareceu um pouco estranho para mim ao tentar aplicar os operadores a uma função de onda formada assimetricamente ou simetricamente. Por exemplo, como se pode aplicar o operador a algo como: um psiI) psi) rangle Ou, estou pensando nisso incorretamente de alguma forma Ou talvez haja uma maneira mais fácil. Qualquer orientação é muito apreciada. Perguntou 14 de setembro 14 às 20:23 Ok, então o produto psiIpsi é anti-simétrico em troca se n for estranho e simétrico se n for uniforme. Assim, isso significa que a função de onda é realmente escrita assim como um produto, e os números quânticos são determinados por se as partículas são fermions ou bosons, acho que isso faz sentido. Isso fará com que o cálculo do valor de expectativa seja muito mais fácil ndash ClassicStyle 14 de setembro 14 em 23: 58 Osciladores harmônicos complicados Além de apresentar um sistema fisicamente importante, esta palestra revela uma conexão muito profunda, que é o cerne das aplicações modernas da mecânica quântica. Veremos que a teoria quântica de uma coleção de partículas pode ser reformulada como uma teoria de um campo (que é um objeto que assume valores em todos os pontos do espaço). Vocês estão todos familiarizados com teorias clássicas de campo - um exemplo é a equação de onda. Outro exemplo é a equação de Schrodinger. Isso faz parte da dualidade onda-partícula: a teoria de uma única partícula quântica é a teoria clássica de uma onda (mais algumas regras sobre como a medida funciona). Essa abordagem é onipresente. Por exemplo, uma maneira comum de entender os fenômenos da física de alta energia é escrever uma teoria de campo clássica com as mesmas simetrias, em seguida, quantizá-la usando técnicas como as que você aprenderá nesta palestra. Por outro lado, uma abordagem comum na física da matéria condensada envolve ter um modelo microscópico complicado de constituintes interativos, e extrair uma teoria efetiva de campo de baixa energia. Em ambas as áreas, as técnicas da teoria do campo quântico também são ferramentas de propósito geral para o cálculo de coisas. Nesta palestra, começaremos com uma aproximação discreta a uma teoria de campo clássica (uma variante de uma haste elástica), quantizá-la e mostrar que ela pode ser reformulada como uma teoria das partículas. Essas partículas emergentes são referidas como fonões - quanta de som. O mesmo tipo de argumentos conecta ondas de luz clássicas e fótons. Claro, uma vez que as equações de Maxwell são um pouco mais complicadas do que a equação de ondas, a teoria dos fótons é um pouco mais complicada (não muito embora). Esta é uma história bastante sofisticada - então, essencialmente, levarei duas palestras para completar. Antes de prosseguir com o nosso modelo, é útil rever algumas características do som clássico em materiais reais. Um modelo mental típico é que temos um monte de bola conectada por molas: isso terá dois tipos de ondas sonoras: modos longitudinais, onde os átomos se movem na direção da projeção: e modos transversais, onde os átomos se movem perpendiculares à direção De movimento: para concretude, pensamos nos modos longitudinais, embora (como você sabe pela PHYS 22142218) a teoria do som transversal é bastante semelhante. No entanto, quero adicionar mais um nível de sofisticação. A maioria dos materiais tem mais de um tipo de átomo. Assim, nosso modelo deve realmente ter pelo menos dois tipos diferentes de bolas: nesses materiais mais complicados haverá modos acústicos, onde todos os átomos se moverão juntos e modos ópticos onde os átomos preto e branco se deslocam de fase. Estes últimos modos são conhecidos como ópticos, porque geralmente eles envolvem uma polarização de tempo finito dependente e, portanto, podem se acender à luz. Tudo isso pode ser longitudinal ou transversal (então você vai ouvir pessoas falando sobre modos ópticos longitudinais ou modos ópticos transversais. Vamos fazer um modelo de brinquedo dos modos acústicos longitudinais. Imaginamos que os átomos pesados são essencialmente estacionários, E apenas os átomos leves se movem. Haverá um acoplamento fraco entre os átomos da luz, produzindo um modelo como: Nós adicionamos rótulos para mostrar que a partícula j é deslocada pela distância xj de sua posição de equilíbrio (na posição ja, onde A é a constante da rede). Ele sente uma força de restauração com a constante constante da mola - representando o acoplamento com os átomos pesados. A partícula jth também será anexada por uma mola à 10ª partícula. Essas molas terão uma constante constante da mola. Queremos uma descrição quântica deste sistema. Começamos por escrever a energia clássica começar a etiqueta Esumj frac frac xj2frac (xj-x) 2. End A versão mecânica quântica apenas exige tomar pjto-ipar E usando isso em uma grande equação de Schrodinger Hpsi (x1, x2, cdots, xN) Epsi (x1, x2, cdots, xN). Embora pareça difícil de acreditar, verifica-se que podemos resolver exatamente esse modelo. No espírito deste curso, no entanto, vou mostrar-lhe um método aproximado que nos dará uma visão mais aprofundada. A aproximação vai confiar no fato de que gammallkappa. O primeiro passo dessa aproximação é um pouco abstrato. Eu vou apresentar operadores de escada manchados para a partícula jth. Uma vez que a partícula jth está acoplada às partículas jpm1th, os operadores de escada apropriados devem de alguma forma envolver todas as três partículas. Na verdade, no caso geral, as operadoras envolvem todas as partículas. Para a ordem mais baixa em gammakappa, basta incluir apenas os vizinhos mais próximos. Eu vou explicar como eu consegui isso mais tarde, mas o que eu vou fazer é adivinhar começar o rótulo xj frac esquerda ((ajajdagger) alfa (aa daggera a dagger) direita pj frac di esquerda ((aj-ajdagger) - alfa (a - a Daggera - a dagger) direito, fim onde o alfa deve ser pequeno, ou seja, da ordem gammakappa. Os parâmetros d e alfa serão definidos mais tarde. Se tomarmos alpha0 e d4sqrt, essa é apenas a definição padrão de operadores de escada. Mesmo com Alphaneq0 estes podem ser operadores de escada para osciladores harmônicos independentes, se pudermos arrumar começar o rótulo ai, aj0 delta end. Assumimos que as equações (ref) estão satisfeitas. Em seguida, precisamos verificar se o xs e ps têm as relações de comutação corretas: começar a etiqueta Xi, xj0label pi, pj0label xi, pjihbar delta end onde delta é o Kronecker delta, igual a zero se ineq j e 1 if ij. As duas primeiras relações Eqs. (Ref) e (ref) são trivialmente satisfeitas desde aiaidagger, ajajdagger0 e Ai-aidagger, aj-ajdagger0. O último relacionamento precisa de mais trabalho. Os únicos casos que precisam Para ser considerado são aqueles com ij e aquele com ij1. Vamos começar com ij. Fazer o termo do comutador por termo dá início xi, piihbar (1-alfa2). Este é bom o suficiente para mim. Se o alfa for pequeno, então o alfa2 é realmente pequeno. Claro, não seria muito difícil modificar nossa ansatz para se livrar dessa pequena discrepância. Provavelmente tornaria a conservação futura do livro ainda mais difícil. Uma boa regra geral não usa uma modelapproximation mais precisa do que você precisa. Muitas vezes você aprende mais da abordagem mais grosseira. Agora, procure o termo vizinho mais próximo. Lá, começamos xi, p frac esquerda ((aiaidagger, - alpha (ai-aidagger) alpha (aa dagger), a-a daggerright). End Os dois termos entre parênteses são claramente negativos um do outro, então nós começamos 0, conforme desejado. Agora substituímos nosso ansatz na Eq. (Ref) em nosso Hamiltoniano na Eq. (Ref). Se não somos cuidadosos, as coisas ficarão bagunceadas. Ao invés de apenas saltar cegamente, é útil escrever o formulário Essa expressão irá tomar: começar Hsumj esquerda esquerda (frac trght) (ajdagger aj aj ajadagger) - t (um dagger ajajdagger a) direito. Nonumberquad esquerda. Phantom Delta0 (aj ajdajger ajdagger) Delta1 (aj aa dagger aj) cdots direito, fim Aqui omega0, t, Delta0 e Delta1 são todas funções de m, kappa, gama e alfa. Os termos negligenciados são todos de ordem (gammakappa) 2, para que possamos ignorá-los. O bom é que, se sabemos o que A forma é que podemos perguntar o que cada um desses coeficientes é - um por um. As expressões resultantes serão muito menos confusas. Esta é uma boa estratégia geral. No seu lar K você calculará estes termos - e você achará que você pode escolher alfa e d tal que Delta0Delta10. Com essa escolha, a teoria é descrita pelo hamiltoniano começar Hsumj esquerdo esquerdo (frac trght) (ajdagger aj aj ajadagger) - t (um dagger ajajdagger a) direito. Fim Esta é uma expressão interessante, pois tem uma simetria importante: o número de quanta é conservado. Isso é Nsumk ajdagger aj comuta com o Hamiltoniano, e N é, portanto, uma constante de movimento. Especializamos o caso N1. O espaço de Hilbert para este setor é abrangido pelo jrangle dos estados - definido para ser o estado em que o js oscilador tem um único quantum de excitação, e o resto está em seu estado fundamental. A função de onda mais geral é então começar psiranglesumj psij jrangle, final em que psij2 é a probabilidade de a excitação estar no estado jrangle. Isso parece interessante. O que é ainda mais interessante é o fato de que a equação de Schrodinger pode ser reduzida a uma equação para psij (t): começar a etiqueta ipartialtpsirangleH psirangle sumj i psiprimej (t) jranglesumj leftleft (E0hbaromega02 tright) psij-t psi - t psi jrangle direito, Fim onde E0sumj (hbaromega02t) é a energia do estado do solo (que é extensa). Uma vez que muito bem, qualquer medida que criamos apenas produz diferenças de energia, esta é uma constante irrelevante. Esta constante pode ser removida pela transformação psij (t) para psij (t) e. O jrangle de estado é ortogonal, então a Eq. (Ref) só pode ser satisfeito se, para todos os j, comece i psiprimej (t) (hbaromega02 t) psij-t psi - t psi, fim que deve parecer familiar. Esta é uma equação de matriz: begin (ipartialt-hbaromega0) à esquerda (começar psi1 psi2 psi3 psi4 vdots end right) left (começar 2t-t00cdots - t2t-t0 0-t2t-t0 vdots end right) à esquerda (começar psi1 psi2 psi3 psi4 vdots Final direito) final Vimos essa matriz antes: é apenas a aproximação de diferenças finitas à derivada secundária. Assim, se voltarmos para trás através da nossa derivação de diferenças finitas, começamos ipartialt psi (x) à esquerda (hbaromega0-frac direita) psi (x), terminamos onde hbar22ma2t. Nós derivamos a equação Schrödinger de partículas singulares de um modelo de som, acho que o som é composto de partículas. Chamamos essas partículas de fonões. O que é ainda mais emocionante, é que podemos considerar o caso com N2. Agora, o espaço de Hilbert é dividido por estados com excitações em dois lugares: j, jprimerangle (onde jprime pode ser igual a j). Este deve ser um estado de duas partículas. Curiosamente, não podemos especificar a partícula em que lugar - o estado é apenas especificado pelas localizações das partículas. Por construção, as partículas são indistinguíveis: são bosões. Assim, os bosões ocorrem automaticamente quando você quantifica uma teoria de campo clássica.
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